弦理论启发了一个辉煌却令人困惑的新数学证明
*作者：* Joseph Howlett
*2025年12月12日*
多年前，一位大胆的菲尔兹奖得主概述了一个宏大的计划，他声称这个计划可以用来解决代数几何学中的一个重大问题。其他数学家对此持怀疑态度。现在，他说他已经有了一个证明。
今年8月，一个数学家团队发布了一篇论文，声称使用完全陌生的技术解决了一个代数几何学中的重大问题。这立即吸引了该领域的注意，在一些数学家中激起兴奋，在其他人中引起怀疑。
这个结果涉及多项式方程，这些方程将变量提升到幂次（比如 y = x³ 或 x² − 3xy = z²）。这些方程是数学中最简单、最普遍的方程之一，如今，它们在许多不同研究领域中都至关重要。因此，数学家想要研究它们的解，这些解可以表示为几何形状，如曲线、曲面以及更高维的对象，称为流形。
数学家想要驯服的无穷多种多项式方程。但它们都属于两个基本类别之一——那些解可以按照简单配方计算的方程，以及那些解具有更丰富、更复杂结构的方程。第二类才是数学的精华所在：这是数学家想要集中注意力以取得重大进展的地方。
但在将少数几种多项式分类到“简单”和“困难”堆中之后，数学家就卡住了。在过去半个世纪，即使是看起来相对简单的多项式也抵制分类。
然后今年夏天，这个新证明出现了。它声称结束了僵局，提供了一个诱人的愿景，说明如何分类许多迄今似乎完全遥不可及的其他类型多项式。
问题是，代数几何学界没有人理解它。至少，目前还没有。这个证明依赖于从弦理论世界导入的想法。其技术对那些致力于多项式分类的数学家来说完全陌生。
一些研究者信任论文作者之一、菲尔兹奖得主马克西姆·孔采维奇的声誉。但孔采维奇也以做出大胆声明而闻名，这让其他人犹豫。世界各地的数学系中涌现了阅读小组，来解读这个开创性结果并缓解紧张情绪。
这个审查可能需要数年时间。但它也为一个曾经停滞的研究领域复兴了希望。而且它标志着孔采维奇几十年来倡导的一个更广泛数学计划的早期胜利——他希望这个计划能在代数、几何和物理之间搭建桥梁。
“普遍看法是，”米兰大学数学家保罗·斯特拉里（未参与这项工作）说，“我们可能正在看着未来数学的一部分。”
## 理性方法
分类所有多项式的努力涉及最古老的数学：解方程。例如，要解简单多项式 y = 2x，你只需找到满足方程的 x 和 y 值。这个方程有无穷多个解，比如 x = 1, y = 2。当你在坐标平面上绘制所有解时，你得到一条直线。
其他多项式更难直接求解，它们的解在空间中切割出更复杂、更高维的形状。
但对于其中一些方程，结果发现，有一种非常简单的方法来找到所有可能的解。你不是分别将不同数字代入每个变量，而是可以通过用一个新变量 t 重写变量来一次性得到所有解。
考虑多项式 x² + y² = 1，它定义了一个圆。现在设 x 等于 2t/(1 + t²)，y 等于 (1 − t²)/(1 + t²)。当你将这些新公式代回原方程时，你得到 1 = 1，这是一个无论 t 是什么都始终成立的陈述。这意味着，通过为 t 选择任何实数值，你都会立即得到原多项式的一个解。例如，当你设 t 等于 1 时，你得到 x = 2(1)/(1 + (1)²) = 1，y = 0。而且确实，x = 1, y = 0 是原方程的一个解：(1)² + (0)² = 1。
这种直接框架所有解的方式称为有理参数化。它相当于将原多项式图上的每个点——在本例中是一个圆——映射到一条直线上的唯一点。
选择圆上的一个点（蓝色）。你想将它映射到直黄色线上的唯一点。为此，从圆顶部的绿色点和你选择的蓝色点之间画一条虚线。然后将蓝色点映射到这条虚线穿过的黄色点。你可以对圆上的任何给定点这样做。（圆顶部的绿色点被映射到无穷远处的特殊黄色点。）
Mark Belan/ Quanta Magazine
任何次数为1的多项式方程——即项的幂次最多为1的多项式——都可以像这样参数化。方程有多少变量无关紧要：可能有两个变量，或200个。一旦超过两个变量，多项式方程的解将形成复杂的高维形状。但因为多项式仍然可以参数化，所以有一种方法可以将高维形状中的每个点映射到相同维数的特别简单空间（比如直线）中的点。这反过来给你一个直接计算所有多项式解的方法。
同样，任何次数为2的多项式（项的幂次最多为2）都有有理参数化。
但如果方程的次数为3或更高，它并不总是可以参数化。这取决于方程有多少变量。
以一种典型的次数为3的多项式为例：椭圆曲线，比如 y² = x³ + 1，只有两个变量。“椭圆曲线是辉煌的，它们很精彩，但你不可能参数化它们，”布朗大学的布伦丹·哈塞特说。没有简单公式为 x 和 y 给出椭圆曲线的所有解，所以无法将曲线映射到一条直线。“如果你能，它们就不会这么有趣了，”哈塞特说。
与前面的例子不同，你的虚线有时将椭圆曲线上的两个不同点（蓝色）映射到下方黄色线上的同一点。你无法找到避免这种情况的映射，这意味着椭圆曲线的解集比圆或球更复杂。
相反，椭圆曲线的解具有远更丰富的结构——这种结构几个世纪以来在数论中发挥了关键作用，密码学家也利用它来编码秘密信息。
那么，带有更多变量的次数为3的方程呢？它们是否可以参数化，还是它们的解结构更有趣，像椭圆曲线那样？
1866年，德国数学家阿尔弗雷德·克莱布施证明了带有三个变量的次数为3的方程——其解形成二维曲面——通常是可以参数化的。一个多世纪后，赫伯特·克莱门斯和菲利普·格里菲思发表了一篇里程碑式的证明，他们证明了大多数带有四个变量的次数为3的方程情况相反。这些方程形成称为三维折叠的三维流形，是不可参数化的：它们的解无法映射到简单的3D空间。
许多数学家怀疑下一个要分类的多项式——带有五个变量的次数为3的方程（形成称为四维折叠的四维流形）——通常也不会是可参数化的。事实上，他们认为多项式在某个点之后永远不应是可参数化的。但克莱门斯和格里菲思的技术对四维折叠不起作用。
于是几十年来，分类努力处于休眠状态。
## 转化一位先知
2019年夏天在莫斯科的一次会议上，当马克西姆·孔采维奇站起来谈论分类四维折叠时，数学家们感到惊讶。
一方面，孔采维奇以采取高层方法闻名，他更喜欢提出雄心勃勃的猜想并勾勒出广泛的计划，通常将更细微的细节和正式证明写作留给他人。他把自己描述为介于先知和白日梦者之间。
马克西姆·孔采维奇更喜欢思考广泛的数学愿景而不是个别问题，他认为自己介于白日梦者和先知之间。
©IHES/Flann Mérer
在过去三十年中，他一直专注于开发一个称为同调镜像对称的计划，这个计划源于弦理论。在1980年代，弦理论家想要计数高维流形上的曲线数量，以回答关于宇宙构建块可能如何行为的疑问。为了计数给定流形上的曲线，他们考虑它的“镜像”——另一个虽然与原流形非常不同但具有相关属性的流形。特别是，他们发现与镜像相关的代数对象，称为霍奇结构，可以揭示原流形上的曲线数量。反之亦然：如果你计数镜像上的曲线，你会得到关于原流形霍奇结构的信息。
1994年，孔采维奇勾勒出一个计划来解释这种对应关系的根本原因。他的计划还预测这种对应关系扩展到弦理论相关流形之外的所有种类流形。
目前，没有人知道如何证明孔采维奇的镜像对称计划。“这将是下个世纪的数学，”他说。但多年来，他已经在证明上取得了部分进展——同时探索计划的潜在后果。
2002年，孔采维奇的朋友、迈阿密大学的卢德米尔·卡茨阿尔科夫假设了一个这样的后果：这个计划可能与多项式方程的分类相关。
卡茨阿尔科夫熟悉克莱门斯和格里菲思1972年证明三维折叠不可参数化的工作。在那项工作中，两人直接考察给定三维折叠的霍奇结构。然后他们用它证明三维折叠无法映射到简单的3D空间。但与四维折叠相关的霍奇结构太复杂，无法使用相同工具分析。
卡茨阿尔科夫的想法是间接访问四维折叠的霍奇结构——通过计数其镜像上特定类型曲线的数量。通常，研究四维折叠霍奇结构的数学家不会想到这样的曲线计数：它们只出现在看似无关的数学领域，比如弦理论。但如果镜像对称计划是真的，那么镜像上的曲线数量应该照亮原四维折叠霍奇结构的特征。
卢德米尔·卡茨阿尔科夫几十年来主张，源于物理的雄心勃勃数学计划镜像对称，是解决代数几何学中一个重大开放问题的关键。
Natalia Leal
特别是，卡茨阿尔科夫想要将镜像的曲线计数分解成片段，然后使用镜像对称计划证明有一种相应方式分解四维折叠的霍奇结构。然后他可以处理这些霍奇结构的片段，而不是整体，来证明四维折叠不可参数化。如果任何一个片段无法映射到简单的4D空间，他就有证明了。
但这种推理线路依赖于假设孔采维奇的镜像对称计划对四维折叠成立。“很明显它应该是真的，但我没有技术能力看出如何做，”卡茨阿尔科夫说。
不过，他认识一个有这种能力的人：孔采维奇本人。
但他的朋友不感兴趣。
## 深入挖掘
多年来，卡茨阿尔科夫试图说服孔采维奇将他的镜像对称研究应用于多项式分类——但徒劳无功。孔采维奇想要专注于整个计划，而不是这个特定问题。然后在2018年，两人与宾夕法尼亚大学的托尼·潘特夫一起研究另一个涉及将霍奇结构和曲线计数分解成片段的问题。这说服了孔采维奇听卡茨阿尔科夫的意见。
卡茨阿尔科夫再次向他讲解了他的想法。孔采维奇立即发现了一个卡茨阿尔科夫长期寻求但从未找到的替代路径：一种从镜像对称汲取灵感而无需实际依赖它的方式。“当你花了多年思考这件事后，你看到它在几秒钟内发生，”卡茨阿尔科夫说。“那是一个壮观的时刻。”
孔采维奇论证说，应该可以使用四维折叠自身的曲线计数——而不是其镜像的——来分解霍奇结构。他们只需找出如何以给他们所需片段的方式关联两者。然后他们就能分别关注霍奇结构的每个片段（或他们称为“原子”的）。
这就是孔采维奇在2019年莫斯科会议上向听众概述的计划。对一些数学家来说，这听起来好像一个严谨证明就在拐角处。数学家是一个保守的群体，通常等待绝对确定性才呈现新想法。但孔采维奇总是更大胆一些。“他非常开放地分享他的想法，并且非常前瞻性，”波士顿马萨诸塞大学的数学家丹尼尔·波默莱亚诺说，他研究镜像对称。
孔采维奇警告说，还有一个主要成分他们还不知道如何处理：一个公式，描述当数学家试图将四维折叠映射到新空间时每个原子如何变化。只有手握这样一个公式，他们才能证明某些原子永远不会达到对应于适当“简化”四维折叠的状态。这将意味着四维折叠通常是不可参数化的。
这就是孔采维奇在2019年莫斯科会议上向听众概述的计划。对一些数学家来说，这听起来好像一个严谨证明就在拐角处。数学家是一个保守的群体，通常等待绝对确定性才呈现新想法。但孔采维奇总是更大胆一些。“他非常开放地分享他的想法，并且非常前瞻性，”波士顿马萨诸塞大学的数学家丹尼尔·波默莱亚诺说，他研究镜像对称。
但其他人更谨慎。他们知道孔采维奇有时会提出想法，后来证明是错误的，或者至少目前无法证明。
“他是一个先知，”斯特拉里说。“有时先知是对的，有时不是。”
原子时代
在2019年会议后的几年里，孔采维奇、卡茨阿尔科夫、潘特夫以及另一位合作者、迈阿密大学的瓦迪姆·沃伊托夫开始填补计划中的空白。他们找到了关联曲线计数与霍奇结构分解的方法。然后，在2025年8月，他们发布了他们的证明。
证明的核心是他们对霍奇结构的“原子”分解——这些是无法进一步分解的基本构建块。合作者们证明，对于典型的四维折叠（具体来说，是五次三维折叠，即带有五个变量的次数为3的多项式方程），至少有一个原子无法映射到简单的4D空间。这意味着整个四维折叠无法参数化。
他们还证明了这种原子分解适用于更广泛类别的流形，这为分类更高维的多项式开辟了道路。
“这是代数几何学中一个重大开放问题的解决方案，”斯特拉里说。
但证明的细节让许多数学家感到困惑。合作者们使用了从弦理论和镜像对称中借来的工具，这些工具在代数几何学的主流中并不常见。
“这是非常先进的数学，”哈塞特说。“它结合了许多不同的想法。”
阅读小组已经在世界各地的数学系中形成，以尝试理解这项工作。有些小组专注于证明的技术细节，其他小组则试图将其与更熟悉的代数几何学概念联系起来。
“人们正在努力理解它，”波默莱亚诺说。“这需要时间。”
尽管如此，许多数学家对这项工作感到兴奋。它不仅解决了长期存在的分类问题，还展示了物理学启发的想法如何能产生纯数学的突破。
“这是物理和数学之间互动的一个美丽例子，”斯特拉里说。“它显示了来自物理的想法如何能解决纯数学问题。”
对于孔采维奇来说，这个证明是他更广泛镜像对称计划的一个胜利。这个计划旨在统一看似无关的数学领域，并揭示它们之间的深层联系。
“这是朝着正确方向迈出的一步，”他说。“但还有很多工作要做。”